Bài tập phương trình lượng giác có lời giải

Các dạng tân oán phương trình lượng giác, cách thức giải và bài bác tập tự cơ bạn dạng mang đến nâng cấp - toán lớp 11

Sau lúc làm cho quen thuộc cùng với những hàm vị giác thì những dạng bài bác tập về pmùi hương trình lượng giác chính là ngôn từ tiếp theo sau nhưng các em sẽ học trong lịch trình tân oán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài tập phương trình lượng giác có lời giải


Vậy pmùi hương trình lượng giác bao gồm những dạng toán thù làm sao, phương thức giải ra sao? họ thuộc tìm hiểu qua bài viết này, mặt khác áp dụng các cách thức giải này để gia công những bài bác tập trường đoản cú cơ bản mang đến nâng cấp về pmùi hương trình lượng giác.

I. Lý ttiết về Phương thơm trình lượng giác

1. Pmùi hương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương thơm trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa sinα = a, lúc đó phương thơm trình (1) bao gồm những nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 cùng x = π - α + k2π, ()

- Nếu α vừa lòng điều kiện 

*
 cùng sinα = a thì ta viết α = arcsimãng cầu. lúc đó các nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsimãng cầu + k2π, ()

 với x = π - arcsina + k2π, ()

- Pmùi hương trình sinx = sinβ0 tất cả những nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Pmùi hương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là 1 trong cung thỏa cosα = a, khi ấy pmùi hương trình (2) tất cả các nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu ĐK 0 ≤ α ≤ π với cosα = a thì ta viết α = arccosa. khi kia các nghiệm của pmùi hương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Pmùi hương trình cosx = cosβ0 bao gồm những nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Pmùi hương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay điều kiện của phương trình (3) là: 

*

- Nếu α thỏa mãn ĐK

*

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện

*

II. Các dạng toán thù về Phương trình lượng giác với phương thức giải

° Dạng 1: Giải phương thơm trình lượng giác cơ bản

* Pmùi hương pháp

- Dùng các công thức nghiệm tương xứng với mỗi pmùi hương trình.

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) b)

b)

d)

*

* Lời giải bài bác 1 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a)  

*

 

*

b) 

*

 

*

 

*

c) 

*

 

*

 

*

 

*

d)

*
 
*

 

*

*
*
 
*

* lấy ví dụ 2: Giải các pmùi hương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

*

 

*
 
*
*

b) 

*

 

*
 
*
 
*

c) 

*

 

*
 
*

d) 

*

 

*
 
*

° Dạng 2: Giải một số phương thơm trình lượng giác gửi được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương thơm pháp

- Dùng những công thức chuyển đổi để lấy về pmùi hương trình lượng giác đang mang đến về pmùi hương trình cơ bạn dạng như Dạng 1.

* lấy ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

° Lời giải:

a)

*
 
*

 

*
*
 
*

+ Với 

*
 
*
 hoặc 
*

+ Với

*
 
*
 hoặc 
*

b) 

*
 
*

 

*
 
*

c)

*
 
*

 

*
 

 

*

 

*

 

*

d)

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*

* Lưu ý: Bài tân oán trên vận dụng công thức:

 

*
*

 

*
*

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

b)

 

*
 
*

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

* Lưu ý: Bài tân oán vận dụng phương pháp biến đổi tích thành tổng:

 

*

 

*

 

*

* lấy ví dụ như 3: Giải các phương thơm trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

*

 

*
 
*

 

*
 
*

b)

*

 

*
 
*

 

*
*
 
*

c)

*

 

*

 

*

 

*

  hoặc 

*

  hoặc 

*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*
 với 
*

d)

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

* Lưu ý: Bài toán bên trên có áp dụng bí quyết biến đổi tổng kết quả và bí quyết nhân đôi:

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

° Dạng 3: Phương thơm trình hàng đầu bao gồm một hàm con số giác

* Pmùi hương pháp

- Đưa về dạng phương thơm trình cơ phiên bản, ví dụ: 

* lấy ví dụ như 1: Giải các pmùi hương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

*
 
*

+ Với 

*

+ Với 

*

b)

 

*

 

*

 

*

 

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
 
*
*

+ Với 

*
: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương thơm trình bậc nhì bao gồm một hàm con số giác

* Phương thơm pháp

♦ Đặt ẩn prúc t, rồi giải phương trình bậc nhì so với t, ví dụ:

 + Giải pmùi hương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta gồm phương thơm trình at2 + bt + c = 0.

* Lưu ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì buộc phải có điều kiện: -1≤t≤1

* lấy ví dụ 1: Giải những phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

*
 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ Với t = 1: sinx = 1 

*

+ Với t=1/2: 

*
 

 

*
 hoặc 
*

b) 

 

*

*

+ Đặt 

*
 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -một nửa.

Xem thêm: Sơ Đồ Quản Trị Thời Gian Lê Thẩm Dương, Quản Trị Thời Gian

+ t = 3/2 >1 cần loại

*
*
 
*

* Chụ ý: Đối với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương thơm pháp giải nhỏng sau:

 - Ta có: cosx = 0 không phải là nghiệm của pmùi hương trình vì a≠0,

 Chia 2 vế mang đến cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 cùng với tanx)

 - Nếu phương thơm trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta nỗ lực d = d.sin2x + d.cos2x, và rút gọn mang đến dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Pmùi hương pháp

◊ Cách 1: Chia nhị vế phương thơm trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì pmùi hương trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ Cách 2: Sử dụng công thức sinx và cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng pmùi hương trình bậc 2 so với t.

* Lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) gồm nghiệm Lúc c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải những pmùi hương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

*
 Khi đó:

  

*

+ Đặt 

*
 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

*
 
*
 
*

b) 

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* Lưu ý: Bài toán thù áp dụng công thức:

 

*
 

 

*

° Dạng 6: Pmùi hương trình đối xứng cùng với sinx và cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

Xem thêm: Khắc Phục Lỗi 0Xc00007B Trên Win 7 64Bit, Cách Fix Lỗi 0Xc000007B Trên Windows

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, Lúc đó:  rứa vào phương thơm trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- Lưu ý: 

*
 đề nghị ĐK của t là: 

- Do kia sau khi kiếm được nghiệm của PT (*) đề nghị soát sổ (đối chiếu) lại ĐK của t.

- Phương thơm trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 chưa phải là PT dạng đối xứng tuy thế cũng rất có thể giải bằng phương pháp tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

*

* Ví dụ: Giải những phương thơm trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , lúc đó:   ráng vào phương trình ta được:

 

*
 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

*

 

*
 
*

 

*

+ Tương tự, với 

*

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

*

 

*

Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   rứa vào phương trình ta được:

 

*
 
*
 
*

+ Với t=1 

*

 

*
*

 

*
 hoặc 
*

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
: loại

III. các bài tập luyện về những dạng toán Phương trình lượng giác

Bài 2 (trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Với đa số quý giá như thế nào của x thì quý giá của những hàm số y = sin 3x cùng y = sin x bằng nhau?

° Lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Ta có: 

*

 

*
 
*

 

*

- Vậy với 

*
thì 
*

* Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương thơm trình sau:

 a) 

 b) 

*

 c) 

 d) 

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a) 

 

*
 
*

- Kết luận: PT gồm nghiệm

*

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT tất cả nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

*
 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

d) 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

Bài 4 (trang 29 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải phương trình 

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

*

 

*
 
*

 

*

+ Đến phía trên ta đề xuất đối chiếu với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

*

*
(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

*

*
 (ko thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT gồm chúng ta nghiệm là 

*

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải pmùi hương trình: sin2x – sinx = 0 

° Lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

- Kết luận: PT có tập nghiệm 

*

* Bài 2 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

*
.sin4x = 0

° Lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, lúc ấy PT (1) trsống thành: 2t2 – 3t + 1 = 0